Niveaux d’énergie de l’atome

Exercice 1:

Les énergies des différents niveaux, exprimées en électron-volt, sont données par la formule :

\[ E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV \]

1.1) Calculez les énergies correspondant à \( n=1 \) et \( n=2 \) et représentez le diagramme des niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène.

1.2) Quelle est l’énergie minimale que l’on doit fournir à un atome d’hydrogène pour qu’il passe de l’état fondamental à un état excité ? La transcrire sur le diagramme.

1.3) Cette énergie est apportée à l’atome par une radiation lumineuse monochromatique. Calculez sa longueur d’onde.

1.4) Calculez la longueur d’onde de la radiation susceptible d’ioniser l’atome d’hydrogène.

Exercice 2:

Rutherford a décrit l’atome d’hydrogène par le modèle planétaire : l’électron a un mouvement circulaire, de rayon \( r \), autour d’un noyau constitué de proton. La force électrique subie par l’électron est dirigée selon la droite proton-électron, attractive de valeur :

\[ F = \frac{k e^2}{r^2} \]

La force gravitationnelle est négligeable devant cette force.

a) Montrez que le mouvement de l’électron est uniforme.

b) Établissez l’expression de la vitesse \( v \) en fonction de \( k \), \( e \), \( r \) et \( m \).

c) Exprimez son énergie cinétique en fonction de ces mêmes paramètres.

d) Exprimez en énergie mécanique \( E_m \) en fonction de \( k \), \( e \) et \( r \) sachant que son énergie potentielle est :

\[ E_p = -\frac{k e^2}{r} \]

Quelle est sa limite quand \( r \) tend vers l’infini ?

Exercice 3:

L’atome d’hydrogène possède différents niveaux d’énergie donnés par :

\[ E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV \]

1) Quel est le nom du nombre noté \( n \) qui apparaît dans le diagramme ?

2) Quand dit-on qu’un atome est dans son état fondamental ? Quel est l’état fondamental de l’atome d’hydrogène ? Le noter sur schéma.

3) Considérons une population d’atomes d’hydrogène au repos, sans apport d’énergie de la part extérieure. Dans quel état se trouvent les atomes (ou du moins l’immense majorité) ?

4) Que représente le niveau noté \( n = \infty \) ? Noter son nom sur le schéma.

5) Quelle énergie minimale, en eV, faut-il fournir à un atome d’hydrogène pour l’ioniser lorsqu’il est dans son état fondamental ?

6) Un atome d’hydrogène à la configuration électronique telle que \( n=3 \). Est-il dans son état fondamental ? Comment s’appelle un tel état? Le représenter par un petit point sur le diagramme précédent.

7) L’atome d’hydrogène peut-il se trouver dans un état situé entre les niveaux \( n=2 \) et \( n=3 \) ?

8) L’atome d’hydrogène est excité sur le niveau \( n=3 \). Comment peut-on exciter cet atome ? Montrons qu’en se dés-excitant vers le niveau \( n=2 \), il émet un photon de longueur d’onde :

\[ \lambda = 656.1 \, nm \]

Cette radiation est-elle située dans les UV, le visible ou l’IR ? Représenter par une flèche, sur le diagramme précédent, la transition correspondant à cette dés-excitation.

9) Une radiation émise par l’atome d’hydrogène a une longueur d’onde égale à :

\[ \lambda = 486.1 \, nm \]

Cette radiation émise par l’atome d’hydrogène fait partie de la série de Balmer retour au niveau \( n=2 \). Déterminer la transition électronique correspondant à l’émission de cette radiation. La noter sur le schéma. Calculer la longueur d’onde correspondante.

10) Une lampe à décharge à hydrogène émet-elle un spectre continu de radiation ou un spectre discontinu ?

Exercice 4:

1) Expliquer brièvement niveau d’énergie et spectres de raies.

2) Montrer qu’entre l’énergie \( E \) d’un photon et sa longueur d’onde \( \lambda \), il existe la relation :

\[ E = \frac{hc}{\lambda} \]

où \( E \) est exprimé en eV et \( \lambda \) en nm.

3) Déterminer l’énergie \( E \) des photons émis lors de chacune des 4 transitions.

4) Affecter l’énergie \( E \) à chaque niveau du diagramme. Pour quelle valeur de la longueur d’onde des radiations incidentes les atomes de lithium subiront-ils une ionisation à partir de l’état fondamental ?

Exercice 5:

Les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sont donnés par la relation :

\[ E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV \]

1.1) Déterminer l’énergie minimale en eV qu’il faut fournir à l’atome d’hydrogène pour l’ioniser dans les cas suivants :

1.1.1) L’atome d’hydrogène est initialement à son état fondamental \( n=1 \).

1.1.2) L’atome d’hydrogène est à l’état excité correspondant au niveau d’énergie \( n=3 \).

1.2) Faire le schéma du diagramme des niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène en utilisant l’échelle :

\[ 1 \, cm \, = \, 1 \, eV \]

On ne représentera que les six premiers niveaux.

2) Lorsque l’atome de sodium passe de \( E_3 \) à \( E_2 \), il émet une radiation de longueur d’onde \( \lambda_3 \) ; lorsqu’il passe de \( E_2 \) à \( E_1 \), il émet une radiation de longueur d’onde \( \lambda_1 \). Calculer la différence d’énergie \( \Delta E \) en eV.

3) Lorsque l’atome, initialement dans son état fondamental, est éclairé par un faisceau monochromatique de longueur d’onde \( \lambda \) convenable, il peut directement passer du niveau d’énergie \( E_1 \) au niveau d’énergie \( E_3 \). Exprimer la longueur d’onde \( \lambda \) de ce faisceau en fonction des longueurs d’onde \( \lambda_1 \) et \( \lambda_3 \). Faire l’application numérique.

Exercice 6:

La mécanique quantique montre que l’état fondamental de l’atome d’hydrogène est caractérisé par une énergie \( E_1 = -13.6 \, eV \) et chaque niveau excité \( n \) est défini par une énergie :

\[ E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV \]

1) A quoi correspond l’énergie \( E \) ?

2) Quelle relation simple existe entre l’énergie de transition \( \Delta E \) d’un niveau \( n \) à un niveau \( p \) et la longueur d’onde du photon émis ou absorbé ?

3) a) Montrer que pour une transition d’un niveau \( n \) à un niveau \( p \) tel que \( n > p \), on peut écrire la relation :

\[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{p^2} – \frac{1}{n^2} \right) \]

b) Vérifier que \( R_H \) (appelée constante de Rydberg) vaut :

\[ R_H = 1.097 \times 10^7 \, m^{-1} \]

c) Dans la série de Balmer, lors du retour au niveau \( n=2 \), l’atome émet un spectre contenant 4 raies visibles. Calculer deux longueurs d’onde de ces raies correspondant à \( n=3 \) et \( n=4 \). Comparer leurs valeurs.

Exercice 7:

1) Définir l’énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène. Donner sa valeur.

2) Calculer la longueur d’onde maximale correspondant à la transition de l’électron d’un niveau \( n=2 \) au niveau \( n=1 \). Déduire que :

\[ \lambda_{max} = \frac{hc}{\Delta E} \]

3) A quelle transition correspond chacune des radiations de longueur d’onde 486.1 nm, 656.3 nm et 121.6 nm ?

4) L’atome d’hydrogène est dans son niveau d’énergie \( n=2 \), reçoit un photon incident de longueur d’onde 486.1 nm. Ce photon est-il absorbé ? Justifier sans calcul.

5) L’atome d’hydrogène est dans son état fondamental, reçoit :

a) Un photon d’énergie 10.2 eV.

b) Un électron incident d’énergie cinétique 15 eV.

Dire, en le justifiant ce qui se passe dans chaque cas. Si l’atome est ionisé, donner l’énergie cinétique de l’électron émis.

Exercice 8:

Le spectre de l’atome d’hydrogène est obtenu par décharge électrique dans un tube contenant du dihydrogène sous faible pression. Deux électrodes situées à chaque extrémité du tube permettent d’appliquer une différence de potentiel. Lorsque les paramètres (d.d.p, température, pression) sont correctement fixés, on observe l’émission de lumière dont l’analyse est faite à l’aide d’un spectroscope. Le spectre obtenu est constitué, dans sa partie visible, de quatre raies notées Hα, Hβ, Hγ, Hδ de longueurs d’onde respectives dans le vide : 656.3 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm.

1) Sachant que les couleurs des raies émises sont bleue, indigo, rouge et violette, restituer à chaque radiation sa couleur.

2) En 1885, le physicien suisse Balmer remarque que les longueurs d’onde \( \lambda \) de ces quatre radiations satisfont à une relation empirique :

\[ \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} – \frac{1}{n^2} \right) \]

2.1) Indiquer la plus petite valeur possible de \( n \). En déduire la longueur d’onde de la raie correspondante.

2.2) Quelles valeurs doit prendre \( n \) pour retrouver les autres raies visibles du spectre ?

Exercice 9:

Dans le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène on trouve les quatre raies suivantes, caractérisées par leur longueur d’onde :

Hα (656.3 nm), Hβ (486.1 nm), Hγ (434.0 nm), Hδ (410.2 nm).

1) Justifier la discontinuité du spectre d’émission.

2) Établir, en fonction de \( n \), la fréquence \( \nu \) exprimée en Hz des radiations émises lorsque cet atome passe d’un état excité \( n \) à l’état excité \( p \).

3) Retrouver l’expression empirique de Balmer :

\[ \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} – \frac{1}{n^2} \right) \]

4) Tracer le diagramme représentant les transitions entre les différents niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène pour les quatre raies Hα, Hβ, Hγ, Hδ de la série de Balmer.

5) Quelle est l’énergie cinétique minimale d’un électron projectile capable de provoquer par choc l’excitation d’un atome d’hydrogène de son état fondamental à son deuxième état excité ?

6) Sous quelle tension minimale cet électron projectile, initialement au repos, a-t-il été accéléré ?

7) L’atome d’hydrogène précédemment excité revient à son état fondamental avec émission de deux photons. Déterminer les longueurs d’onde de ces deux photons.

Exercice 10:

L’étoile Véga se trouve dans la constellation de la Lyre. Elle émet de la lumière que l’on peut décomposer. On obtient un spectre dont voici sa représentation :

1) Quelle est la nature du spectre ?

2) En déduire si l’étoile possède une atmosphère.

3) Tracer, rapidement, avec seulement 5 points, \( \lambda \) en fonction de \( x \).

4) En déduire le coefficient directeur de la droite ainsi que son ordonnée à l’origine. Donner alors l’équation numérique de \( \lambda \).

5) A l’aide de l’équation numérique, trouver les valeurs des longueurs d’onde émises par l’étoile.

6) Y-a-t-il de l’hydrogène ou de l’hélium dans l’étoile Véga ? Conclure.