La dérivation

Exercice 5

Lien entre convexité et dérivée

Que sait-on sur le lien entre convexité et dérivée ?

f est convexe si et seulement si sa dérivée f′ est décroissante sur I.
f est convexe si et seulement si sa dérivée f′ est croissante sur I.
f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f′′ est croissante sur I.
f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f′′ est décroissante sur I.

Exercice 6

Lien entre dérivée seconde et convexité

Que sait-on sur les liens entre dérivée seconde et convexité ?

f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f′′ est positive sur I.
f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f′′ est négative sur I.
f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f′′ est croissante sur I.
La dérivée seconde n’a pas de lien avec la convexité.

Exercice 7

Point d’inflexion

Qu’est-ce qu’un point d’inflexion ?

C’est un point où la représentation graphique change de signe.
C’est un point où la représentation graphique change de courbure.
C’est un point où la dérivée de la fonction change de signe.
C’est un point où la dérivée de la fonction s’annule.

Exercice 8

Fonction convexe

Une fonction est convexe si et seulement si :

Sa dérivée est décroissante sur I.
Sa dérivée est croissante sur I.
Sa dérivée seconde est croissante sur I.
Sa dérivée seconde est décroissante sur I.

Exercice 9

Dérivée d’une fonction composée (bis)

On a \( h = g \circ f \). Que vaut \( h’ \) ?

h′(x) = f′(g(x)) × f′(x)
h′(x) = f′(g(x)) × g′(x)
h′(x) = g′(f(x)) × f′(x)
h′(x) = g′(f(x)) × f(x)

Exercice 10

Convexité et dérivée seconde

Que sait-on sur les liens entre dérivée seconde et convexité ?

f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f′′ est positive sur I.
f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f′′ est négative sur I.
f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f′′ est croissante sur I.
La dérivée seconde n’a pas de lien avec la convexité.

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