I. Introduction au mouvement sur un plan incliné
Lorsqu’un solide de masse \( m \) glisse sur un plan incliné d’angle \( \alpha \) par rapport à l’horizontale, il est soumis à plusieurs forces, dont le poids, la réaction normale du plan et les frottements. L’analyse de ce mouvement permet de comprendre comment ces forces influencent l’accélération et la vitesse du solide.
II. Forces appliquées
Les forces extérieures appliquées au solide sont :
- Le poids \( \overrightarrow{P} \) : force due à la gravité, donnée par \( \overrightarrow{P} = m \cdot g \) et orientée vers le bas.
- La réaction normale \( \overrightarrow{R} \) : force exercée par le plan incliné, perpendiculaire à la surface du plan.
- La force de frottement \( \overrightarrow{f} \) : force opposée au sens du mouvement, parallèle au plan incliné.
III. Projection des forces sur les axes
On choisit un repère orthonormé \( (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) \) avec :
- L’axe \( x \) dirigé le long du plan incliné, dans le sens du mouvement.
- L’axe \( y \) perpendiculaire au plan incliné.
Les composantes du poids \( \overrightarrow{P} \) dans ce repère sont :
\( P_x = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \) et \( P_y = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \)
IV. Application de la deuxième loi de Newton
Dans la direction de l’axe \( x \), la somme des forces est :
\( \sum F_x = P_x – f = m \cdot a_x \)
soit :
\( m \cdot g \cdot \sin(\alpha) – f = m \cdot a_x \)
Si on néglige les frottements, l’accélération \( a_x \) du solide devient :
\( a_x = g \cdot \sin(\alpha) \)
V. Équations du mouvement
Le mouvement étant rectiligne uniformément accéléré, la vitesse \( v(t) \) et la position \( x(t) \) du solide sont données par :
- Vitesse : \( v(t) = v_0 + a_x \cdot t \)
- Position : \( x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a_x \cdot t^2 \)
où \( v_0 \) et \( x_0 \) sont la vitesse et la position initiales du solide.
Exercice d’application
Une caisse de masse \( m = 10 \, \text{kg} \) glisse sans frottement sur un plan incliné d’angle \( \alpha = 30^\circ \).
- Calculer l’accélération de la caisse.
- Déterminer la vitesse de la caisse après 5 secondes, si elle part du repos.
Correction de l’exercice
1) L’accélération de la caisse est donnée par \( a = g \cdot \sin(\alpha) \).
Avec \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) et \( \alpha = 30^\circ \), on a :
\( a = 9.8 \cdot \sin(30^\circ) = 9.8 \cdot 0.5 = 4.9 \, \text{m/s}^2 \)
2) La vitesse après 5 secondes est donnée par \( v = v_0 + a \cdot t \).
Étant donné que \( v_0 = 0 \), on obtient :
\( v = 0 + 4.9 \cdot 5 = 24.5 \, \text{m/s} \)
Donc, la vitesse de la caisse après 5 secondes est de \( 24.5 \, \text{m/s} \).
