Le dipôle (R, C)

I. Le condensateur

1. Définition : Un condensateur est constitué de deux conducteurs (ou armatures) séparés par un isolant appelé diélectrique. La capacité du condensateur, notée $C$, représente la quantité de charge $q$ qu’il peut stocker par unité de tension $u$, selon la relation : $q = C \cdot u$ où $C$ est en Farads (F). Dans la pratique, on utilise souvent des sous-multiples comme le microfarad ($\mu F = 10^{-6} \, F$) ou le picofarad ($pF = 10^{-12} \, F$).

II. Association de condensateurs

1. En série : Pour deux condensateurs en série, la capacité équivalente $C$ est donnée par : $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ 2. En parallèle : Pour deux condensateurs en parallèle, la capacité équivalente $C$ est : $C = C_1 + C_2$

III. Charge et décharge d’un condensateur dans un circuit (R, C)

1. Charge : Lorsqu’un condensateur est connecté à un générateur par l’intermédiaire d’une résistance $R$, il se charge progressivement, et la tension $u_C(t)$ à ses bornes suit la loi : $u_C(t) = E \left(1 – e^{-\frac{t}{RC}}\right)$ où $E$ est la tension du générateur et $\tau = RC$ est la constante de temps du circuit, indiquant le temps nécessaire pour que la tension atteigne environ 63 % de sa valeur finale $E$. 2. Décharge : En absence de générateur, le condensateur se décharge à travers la résistance $R$, avec une tension aux bornes du condensateur donnée par : $u_C(t) = u_{C \text{max}} e^{-\frac{t}{RC}}$ La constante de temps $\tau$ représente également le temps requis pour que la tension initiale chute à environ 37 % de sa valeur maximale.

IV. Énergie stockée dans un condensateur

Lors de la charge, un condensateur emmagasine une énergie électrique $E_{\text{élec}}$ exprimée par : $E_{\text{élec}} = \frac{1}{2} C u^2$ Cette énergie est restituée lors de la décharge à travers la résistance.

Exercice d’application

1. Un condensateur de $C = 100 \, \mu F$ est chargé sous une tension $E = 12 \, V$. Il est ensuite connecté en série avec une résistance $R = 200 \, \Omega$. Calculer :
   • La constante de temps $\tau$ du circuit.
   • La tension aux bornes du condensateur $t = 2 \, \text{s}$ après le début de la décharge.
   • L’énergie initialement stockée dans le condensateur.

Correction de l’exercice

1) Constante de temps

$\tau = RC = 200 \, \Omega \times 100 \times 10^{-6} \, F = 0.02 \, \text{s}$.

2) Tension après 2 secondes

Utilisons la formule de décharge : $u_C(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}} = 12 \, V \times e^{-\frac{2}{0.02}} = 12 \, V \times e^{-100} \approx 0 \, V$ (La tension devient négligeable au bout de quelques constantes de temps).

3) Énergie stockée

$E_{\text{élec}} = \frac{1}{2} C u^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \, F \times (12 \, V)^2 = 0.0072 \, J$