Cinématique du point matériel

I. La cinématique du point matériel

La cinématique est la branche de la mécanique qui étudie le mouvement des objets sans considérer les forces qui les provoquent. Dans cette partie, nous nous concentrerons sur le mouvement d’un point matériel, en analysant sa position, sa vitesse et son accélération.

1. Référentiel et repère

Pour étudier le mouvement d’un point matériel, il est nécessaire de définir un référentiel, qui est un objet de référence par rapport auquel on décrit le mouvement, et un repère, qui est un système de coordonnées permettant de situer le point matériel dans l’espace. Par exemple, dans le référentiel terrestre, on utilise souvent un repère cartésien (O, x, y, z).

2. Position d’un point matériel

La position d’un point matériel $M$ est donnée par un vecteur position $\overrightarrow{OM}$, avec : $\overrightarrow{OM} = x(t) \, \overrightarrow{i} + y(t) \, \overrightarrow{j} + z(t) \, \overrightarrow{k}$ où $x(t)$, $y(t)$, et $z(t)$ sont les coordonnées du point en fonction du temps $t$.

3. Vitesse d’un point matériel

La vitesse est le vecteur qui caractérise la variation de la position dans le temps. La vitesse instantanée est définie par la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\overrightarrow{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt} = \frac{dx}{dt} \, \overrightarrow{i} + \frac{dy}{dt} \, \overrightarrow{j} + \frac{dz}{dt} \, \overrightarrow{k}$ La norme de $\overrightarrow{v}$ donne la vitesse scalaire, exprimée en mètres par seconde (m/s).

4. Accélération d’un point matériel

L’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, décrivant la variation de la vitesse dans le temps : $\overrightarrow{a}(t) = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} \, \overrightarrow{i} + \frac{d^2y}{dt^2} \, \overrightarrow{j} + \frac{d^2z}{dt^2} \, \overrightarrow{k}$ La norme de $\overrightarrow{a}$ donne l’accélération scalaire, exprimée en mètres par seconde carrée (m/s²).

II. Types de mouvements

1. Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

Dans un mouvement rectiligne uniforme, la vitesse est constante, et l’accélération est nulle. La position du point matériel en fonction du temps est donnée par : $x(t) = x_0 + v \cdot t$ où $x_0$ est la position initiale, et $v$ est la vitesse constante.

2. Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)

Dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré, l’accélération est constante. Les équations de la position et de la vitesse sont : $x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$ $v(t) = v_0 + a \cdot t$ où $x_0$ et $v_0$ sont la position et la vitesse initiales, et $a$ est l’accélération constante.

3. Mouvement circulaire uniforme

Dans un mouvement circulaire uniforme, le point matériel se déplace le long d’un cercle avec une vitesse angulaire constante $\omega$. La vitesse tangentielle est : $v = r \cdot \omega$ où $r$ est le rayon du cercle. L’accélération est centripète, dirigée vers le centre du cercle, avec une valeur : $a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r$

Exercice d’application

Un point matériel est en mouvement rectiligne uniformément accéléré avec une accélération de $a = 2 \, \text{m/s}^2$. À $t = 0$, sa vitesse initiale est $v_0 = 3 \, \text{m/s}$ et sa position initiale est $x_0 = 0$.

1. Écrire l’équation de la position $x(t)$ en fonction du temps.
2. Calculer la position du point matériel à $t = 5 \, \text{s}$.

Correction de l’exercice

1) L’équation de la position pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré est : $x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$ En substituant les valeurs, on obtient : $x(t) = 0 + 3 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = 3t + t^2$ 2) Pour $t = 5 \, \text{s}$ : $x(5) = 3 \cdot 5 + 5^2 = 15 + 25 = 40 \, \text{m}$ Donc, la position du point matériel à $t = 5 \, \text{s}$ est $x = 40 \, \text{m}$.