Équations cartésiennes des plans et des droites

Un plan dans l’espace peut être représenté par une équation cartésienne de la forme : \[ ax + by + cz + d = 0 \] où \( \overrightarrow{n} = (a, b, c) \) est un vecteur normal au plan, et \( d \) est une constante. Exemple : L’équation cartésienne d’un plan perpendiculaire au vecteur \( \overrightarrow{n} = (2, 3, -1) \) et passant par le point \( A(1, 2, 3) \) est obtenue en substituant les coordonnées de \( A \) dans l’équation : \[ 2(x – 1) + 3(y – 2) – 1(z – 3) = 0 \] ce qui donne l’équation cartésienne : \[ 2x + 3y – z – 7 = 0 \] Une droite peut également être représentée sous forme d’équation cartésienne dans l’espace, en utilisant un système de deux équations de plan : \[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases} \] Ces deux équations décrivent les plans qui se croisent pour former la droite.