Notions fondamentales sur les vecteurs

Un vecteur est une quantité ayant à la fois une direction et une magnitude. Soit un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) défini par deux points \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\), les coordonnées du vecteur sont données par : \[ \overrightarrow{AB} = (x_B – x_A, y_B – y_A, z_B – z_A) \] La norme d’un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est la longueur du vecteur, et est donnée par : \[ ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2} \] Deux vecteurs sont dits colinéaires s’ils sont parallèles, c’est-à-dire s’il existe un réel \( \lambda \) tel que : \[ \overrightarrow{u} = \lambda \overrightarrow{v} \]

Exemple 1 : Addition de vecteurs

Soit ( vec{a} = begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 5 end{pmatrix} ) et ( vec{b} = begin{pmatrix} 4 \ -1 \ 2 end{pmatrix} ). Trouvons ( vec{a} + vec{b} ) : [ vec{a} + vec{b} = begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 5 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 4 \ -1 \ 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2 + 4 \ 3 – 1 \ 5 + 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 6 \ 2 \ 7 end{pmatrix}]

Exemple 2 : Produit scalaire

Soit ( vec{u} = begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -1 end{pmatrix} ) et ( vec{v} = begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 4 end{pmatrix} ). Calculons le produit scalaire ( vec{u} cdot vec{v} ) : [ vec{u} cdot vec{v} = 1 cdot 2 + 0 cdot 3 + (-1) cdot 4 = 2 + 0 – 4 = -2 ]

Exemple 3 : Produit vectoriel

Soit ( vec{u} = begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix} ) et ( vec{v} = begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 end{pmatrix} ). Calculons le produit vectoriel ( vec{u} times vec{v} ) : [ vec{u} times vec{v} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 end{vmatrix} = vec{i} (2 cdot 6 – 3 cdot 5) – vec{j} (1 cdot 6 – 3 cdot 4) + vec{k} (1 cdot 5 – 2 cdot 4) ] [ vec{u} times vec{v} = vec{i} (12 – 15) – vec{j} (6 – 12) + vec{k} (5 – 8) ] [ vec{u} times vec{v} = vec{i} (-3) – vec{j} (-6) + vec{k} (-3) ] [ vec{u} times vec{v} = begin{pmatrix} -3 \ 6 \ -3 end{pmatrix} ]