Les positions relatives de droites et plans dans l’espace

Les droites et les plans ont des positions relatives possibles qu’il convient de savoir décrire et justifier.

1. Objectifs de la Leçon

• Décrire les positions relatives des droites et des plans dans l’espace.
• Comprendre les conditions de parallélisme, d’inclusion et d’intersection.
• Apprendre à déterminer les relations entre droites et plans.
• Résoudre des exercices pratiques sur les positions relatives des droites et des plans.

 Positions Relatives d’une Droite et d’un Plan

• Droite Parallèle à un Plan

Une droite est parallèle à un plan si elle est incluse dans le plan ou si elle n’a aucun point commun avec le plan.

•  Droite Sécante à un Plan

Une droite est sécante à un plan si elle a un seul point d’intersection avec le plan.

• Droite Incluse dans un Plan

Une droite est incluse dans un plan si tous les points de la droite appartiennent au plan.  Positions Relatives de Deux Plans

• Plans Parallèles

Deux plans sont parallèles s’ils n’ont aucun point commun ou s’ils sont confondus.

• Plans Sécants

Deux plans sont sécants s’ils se coupent selon une droite. Positions Relatives de Deux Droites

• Droites Parallèles

Deux droites sont parallèles si elles sont confondues ou coplanaires et n’ont aucun point commun.

• Droites Sécantes

Deux droites sont sécantes si elles ont un unique point commun.

• Droites Non Coplanaires

Deux droites sont non coplanaires si elles n’ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.  Exercices Pratiques Exercice 1 : Droite et Plan Parallèles Soit la droite définie par l’équation paramétrique (vec{r}(t) = begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix} + t begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 end{pmatrix}) et le plan défini par (2x – y + z + 7 = 0). Vérifiez si la droite est parallèle au plan. Solution :

• Le vecteur directeur de la droite est (vec{d} = begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 end{pmatrix}).
• Le vecteur normal du plan est (vec{n} = begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 end{pmatrix}).
• Calculons le produit scalaire (vec{d} cdot vec{n}) :

(vec{d} cdot vec{n} = 4 times 2 + 5 times (-1) + 6 times 1 = 8 – 5 + 6 = 9 neq 0)

• La droite n’est pas parallèle au plan car le produit scalaire n’est pas nul.

Exercice 2 : Intersection d’une Droite et d’un Plan Soit la droite définie par l’équation paramétrique (vec{r}(t) = begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -1 end{pmatrix} + t begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 4 end{pmatrix}) et le plan défini par (x + y + z – 6 = 0). Trouvez le point d’intersection. Solution :

• Substituons l’équation de la droite dans l’équation du plan :

( (1 + 2t) + (0 + 3t) + (-1 + 4t) – 6 = 0 ) ( 1 + 2t + 3t + 4t – 1 – 6 = 0 ) ( 9t – 6 = 0 ) ( t = frac{6}{9} = frac{2}{3} )

•  Substituons ( t = frac{2}{3} ) dans l’équation paramétrique de la droite pour obtenir le point d’intersection :

( vec{r}left( frac{2}{3} right) = begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -1 end{pmatrix} + frac{2}{3} begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 4 end{pmatrix} ) ( vec{r}left( frac{2}{3} right) = begin{pmatrix} 1 + frac{4}{3} \ 0 + 2 \ -1 + frac{8}{3} end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{7}{3} \ 2 \ frac{5}{3} end{pmatrix} )

•  Le point d’intersection est donc ( left( frac{7}{3}, 2, frac{5}{3} right) ).

Exercice 3 : Intersection de Deux Plans Soit les plans définis par ( P_1 : x + 2y + 3z – 4 = 0 ) et ( P_2 : 2x – y + z + 1 = 0 ). Trouvez la ligne d’intersection de ces deux plans. Solution :

• Nous devons résoudre le système d’équations :

[ begin{cases} x + 2y + 3z = 4 \ 2x – y + z = -1 end{cases} ]

•  Utilisons l’élimination pour trouver une équation paramétrique de la ligne d’intersection. Multipliant la première équation par 2 :

[ 2x + 4y + 6z = 8 ]

•  Soustrayons la deuxième équation :

[ 2x + 4y + 6z – 2x + y – z = 8 + 1 ] [ 5y + 5z = 9 ]

• Résolvons pour y :

[ y = frac{9}{5} – z ]

• Utilisons cette valeur de y dans la deuxième équation :

[ 2x – left(frac{9}{5} – zright) + z = -1 ] [ 2x – frac{9}{5} = -1 ] [ 2x = -1 + frac{9}{5} = frac{4}{5} ] [ x = frac{2}{5} ]

•  Nous avons trouvé la ligne d’intersection en paramétrique :

[ vec{r}(t) = begin{pmatrix} frac{2}{5} \ frac{9}{5} – t \ t end{pmatrix} ] Exercice 4 : Parallélisme de Deux Droites Soient les droites définies par (vec{r}_1(t) = begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix} + t begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{pmatrix}) et (vec{r}_2(s) = begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix} + s begin{pmatrix} -1 \ -1 \ -1 end{pmatrix}). Vérifiez si ces droites sont parallèles. Solution :

1. 1. Le vecteur directeur de la première droite est (vec{d}_1 = begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{pmatrix}).
   2. Le vecteur directeur de la deuxième droite est (vec{d}_2 = begin{pmatrix} -1 \ -1 \ -1 end{pmatrix}).
   3. Les vecteurs directeurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre :

(vec{d}_1 = -vec{d}_2)

1. 1. Donc, les droites sont parallèles car leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
   2. Le vecteur directeur de la deuxième droite est (vec{d}_2 = begin{pmatrix} -1 \ -1 \ -1 end{pmatrix}).
   3. Les vecteurs directeurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre :

(vec{d}_1 = -vec{d}_2) Donc, les droites sont parallèles car leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Exercice 5 : Droites Sécantes Soient les droites définies par (vec{r}_1(t) = begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 2 end{pmatrix} + t begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 end{pmatrix}) et (vec{r}_2(s) = begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 end{pmatrix} + s begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 end{pmatrix}). Trouvez le point d’intersection, s’il existe. Solution :

• Écrivons les équations des droites sous forme de système :

[ begin{cases} 1 + t = 2s \ 2t = 1 – s \ 2 – t = 1 + s end{cases} ]

• Résolvons le système d’équations :

De la première équation : [ t = 2s – 1 ]

• Substituons dans la deuxième équation :

[ 2(2s – 1) = 1 – s ] [ 4s – 2 = 1 – s ] [ 5s = 3 ] [ s = frac{3}{5} ]

• Substituons ( s = frac{3}{5} ) dans ( t = 2s – 1 ) :

[ t = 2 times frac{3}{5} – 1 = frac{6}{5} – 1 = frac{1}{5} ]

• Vérifions la troisième équation :

[ 2 – frac{1}{5} = 1 + frac{3}{5} ] [ frac{9}{5} = frac{9}{5} ]

•  Les droites se coupent au point :

[ vec{r}_1left(frac{1}{5}right) = begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 2 end{pmatrix} + frac{1}{5} begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 + frac{1}{5} \ 0 + frac{2}{5} \ 2 – frac{1}{5} end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{6}{5} \ frac{2}{5} \ frac{9}{5} end{pmatrix} ]

• Le point d’intersection est donc ( left( frac{6}{5}, frac{2}{5}, frac{9}{5} right) ).