Les droites et les plans dans l’espace

On peut définir des droites dans l’espace avec des vecteurs comme dans le plan, cela permet de définir des repères sur les droites. On peut également définir des plans dans l’espace et les caractériser à l’aide de points, de droites et de vecteurs et ainsi définir des bases et des repères sur ces plans.Équations de droitesUne droite dans l’espace peut être définie par une équation paramétrique :[ vec{r}(t) = vec{r_0} + tvec{d} ]où ( vec{r_0} ) est un point sur la droite et ( vec{d} ) est un vecteur directeur.Équations de plansUn plan peut être défini par une équation cartésienne :[ ax + by + cz + d = 0 ]où ( a ), ( b ), et ( c ) sont les coefficients déterminant l’orientation du plan et ( d ) est un terme constant.IntersectionsLes intersections sont essentielles pour déterminer les relations spatiales entre les droites et les plans.

1. Intersection d’une droite et d’un plan : Substituer l’équation de la droite dans l’équation du plan pour trouver le point d’intersection.
2. Intersection de deux plans : Résoudre le système de deux équations pour trouver la ligne d’intersection.

Exemples pratiques

• Exemple 1 : Équation paramétrique d’une droite

Soit un point ( A(1, 2, 3) ) et un vecteur directeur ( vec{d} = begin{pmatrix} 4 \ -1 \ 2 end{pmatrix} ). L’équation paramétrique de la droite passant par ( A ) et dirigée par ( vec{d} ) est :[ vec{r}(t) = begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix} + t begin{pmatrix} 4 \ -1 \ 2 end{pmatrix} ]C’est-à-dire :[ vec{r}(t) = begin{pmatrix} 1 + 4t \ 2 – t \ 3 + 2t end{pmatrix} ]

• Exemple 2 : Équation cartésienne d’un plan

Soit le plan défini par ( 2x – y + 3z – 5 = 0 ). Pour vérifier si le point ( B(1, 2, -1) ) appartient à ce plan, substituons les coordonnées de ( B ) dans l’équation du plan :[ 2(1) – (2) + 3(-1) – 5 = 2 – 2 – 3 – 5 = -8 ]Comme le résultat n’est pas zéro, le point ( B ) n’appartient pas au plan.

• Exemple 3 : Intersection d’une droite et d’un plan

Soit la droite définie par ( vec{r}(t) = begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -1 end{pmatrix} + t begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 4 end{pmatrix} ) et le plan ( x + y + z – 6 = 0 ). Trouvons le point d’intersection en substituant les coordonnées de la droite dans l’équation du plan :[ (1 + 2t) + (0 + 3t) + (-1 + 4t) – 6 = 0 ][ 1 + 2t + 3t + 4t – 1 – 6 = 0 ][ 9t – 6 = 0 ][ t = frac{6}{9} = frac{2}{3} ]Substituons ( t = frac{2}{3} ) dans l’équation paramétrique de la droite pour obtenir le point d’intersection :[ vec{r}left( frac{2}{3} right) = begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -1 end{pmatrix} + frac{2}{3} begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 4 end{pmatrix} ][ vec{r}left( frac{2}{3} right) = begin{pmatrix} 1 + frac{4}{3} \ 0 + 2 \ -1 + frac{8}{3} end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{7}{3} \ 2 \ frac{5}{3} end{pmatrix} ]Le point d’intersection est donc ( left( frac{7}{3}, 2, frac{5}{3} right) ).

• Exemple 4 : Intersection de deux plans

Soit les plans définis par ( P_1 : x + 2y + 3z – 4 = 0 ) et ( P_2 : 2x – y + z + 1 = 0 ). Pour trouver la ligne d’intersection, résolvons ce système :Nous utilisons l’élimination de Gauss ou une autre méthode appropriée pour trouver la solution. L’équation de la droite d’intersection sera paramétrique, par exemple :[ vec{r}(t) = begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \ z_0 end{pmatrix} + t begin{pmatrix} d_x \ d_y \ d_z end{pmatrix} ]Où ( begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \ z_0 end{pmatrix} ) est un point sur la droite et ( begin{pmatrix} d_x \ d_y \ d_z end{pmatrix} ) est le vecteur directeur trouvé par la méthode de résolution du système.