Le repérage dans l’espace

Repérer les points et les vecteurs en géométrie plane permet d’introduire le calcul pour justifier des propriétés géométriques. C’est également possible dans l’espace où l’on peut créer des repères pour y repérer les points et vecteurs.Objectifs de la Leçon

• Définir ce qu’est un plan dans l’espace.
• Comprendre les propriétés des plans.
• Apprendre les équations cartésiennes des plans.
• Résoudre des exercices pratiques utilisant les plans dans l’espace.

1. Définition des Plans dans l’EspaceUn plan dans l’espace est une surface plate infinie définie par une équation cartésienne ou par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires.1.1 Équation Cartésienne d’un PlanUn plan peut être défini par une équation cartésienne :[ ax + by + cz + d = 0 ]où ( a ), ( b ), et ( c ) sont les coefficients déterminant l’orientation du plan et ( d ) est un terme constant.1.2 Définition par un Point et Deux Vecteurs DirecteursUn plan peut également être défini par un point ( A(x_0, y_0, z_0) ) et deux vecteurs directeurs non colinéaires ( vec{u} ) et ( vec{v} ). L’équation vectorielle du plan est :[ vec{r} = vec{OA} + lambda vec{u} + mu vec{v} ]où ( lambda ) et ( mu ) sont des scalaires.2. Propriétés des Plans

• Un plan est déterminé par trois points non alignés.
• Deux plans parallèles n’ont aucun point commun ou sont confondus.
• Deux plans sécants se coupent selon une droite.

3. Représentation d’un PlanPour représenter un plan dans l’espace, il est souvent utile de connaître l’équation cartésienne du plan ainsi que deux vecteurs directeurs.4. Exercices PratiquesExercice 1 : Équation Cartésienne d’un PlanDéterminez l’équation cartésienne du plan passant par les points A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) et C(7, 8, 9).Solution :

• Calculons les vecteurs (vec{AB}) et (vec{AC}) :

(vec{AB} = B – A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3))(vec{AC} = C – A = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6))Les vecteurs (vec{AB}) et (vec{AC}) sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés. Trouvons un autre point non aligné pour définir le plan correctement. Utilisons le point D(1, 1, 1).

• Recalculons les vecteurs (vec{AD}) et (vec{AC}) :

(vec{AD} = D – A = (1-1, 1-2, 1-3) = (0, -1, -2))(vec{AC} = (6, 6, 6))

• Calculons le vecteur normal au plan (vec{n} = vec{AD} times vec{AC}) :

(vec{n} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 0 & -1 & -2 \ 6 & 6 & 6 end{vmatrix} = (-12 + 12)vec{i} – (0 + 12)vec{j} + (0 + 6)vec{k} = (0, -12, 6))

• L’équation du plan est donc : (0(x-1) – 12(y-2) + 6(z-3) = 0), soit :

[-12y + 6z + 18 = 0]Exercice 2 : Vérification d’un Point dans un PlanSoit le plan défini par ( 2x – y + 3z – 5 = 0 ). Vérifiez si le point ( B(1, 2, -1) ) appartient à ce plan.Solution :Substituons les coordonnées de ( B ) dans l’équation du plan :[ 2(1) – (2) + 3(-1) – 5 = 2 – 2 – 3 – 5 = -8 ]Comme le résultat n’est pas zéro, le point ( B ) n’appartient pas au plan.Exercice 3 : Intersection de Deux PlansSoit les plans définis par ( P_1 : x + 2y + 3z – 4 = 0 ) et ( P_2 : 2x – y + z + 1 = 0 ). Trouvez la ligne d’intersection de ces deux plans.Solution :

• Nous devons résoudre le système d’équations :

[ begin{cases} x + 2y + 3z = 4 \ 2x – y + z = -1 end{cases} ]

• Utilisons l’élimination pour trouver une équation paramétrique de la ligne d’intersection. Multipliant la première équation par 2 :

[ 2x + 4y + 6z = 8 ]

• Soustrayons la deuxième équation :

[ 2x + 4y + 6z – 2x + y – z = 8 + 1 ][ 5y + 5z = 9 ]

• Résolvons pour y :

[ y = frac{9}{5} – z ]

• Utilisons cette valeur de y dans la deuxième équation :

[ 2x – left(frac{9}{5} – zright) + z = -1 ][ 2x – frac{9}{5} = -1 ][ 2x = -1 + frac{9}{5} = frac{4}{5} ][ x = frac{2}{5} ]

• Nous avons trouvé la ligne d’intersection en paramétrique :

[ vec{r}(t) = begin{pmatrix} frac{2}{5} \ frac{9}{5} – t \ t end{pmatrix} ]Exercice 4 : Plan Passant par Trois PointsDéterminez l’équation cartésienne du plan passant par les points E(1, 0, -1), F(2, -1, 3), et G(0, 2, 1).Solution :

• Calculons les vecteurs (vec{EF}) et (vec{EG}) :

(vec{EF} = F – E = (2-1, -1-0, 3-(-1)) = (1, -1, 4))(vec{EG} = G – E = (0-1, 2-0, 1-(-1)) = (-1, 2, 2))

• Calculons le vecteur normal au plan (vec{n} = vec{EF} times vec{EG}) :

(vec{n} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 1 & -1 & 4 \ -1 & 2 & 2 end{vmatrix} = (-1*2 – 4*2)vec{i} – (1*2 – 4*-1)vec{j} + (1*2 – (-1*-1))vec{k} = (-2 – 8)vec{i} – (2 + 4)vec{j} + (2 – 1)vec{k} = (-10, -6, 1))(vec{n} = (-2 – 8)vec{i} – (2 + 4)vec{j} + (2 – 1)vec{k} = (-10, -6, 1))

• L’équation du plan est donc :

[-10(x-1) – 6(y-0) + 1(z+1) = 0][-10x + 10 – 6y + z + 1 = 0][-10x – 6y + z + 11 = 0]