Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire discrète

L’espérance \( E(X) \) d’une variable aléatoire discrète \( X \) prenant les valeurs \( x_1, x_2, \dots, x_n \) avec les probabilités \( p_1, p_2, \dots, p_n \) est définie par la somme pondérée des valeurs de \( X \) par leurs probabilités : \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \] La variance \( V(X) \) mesure la dispersion des valeurs de \( X \) autour de l’espérance et est donnée par : \[ V(X) = E\left( (X – E(X))^2 \right) = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot (x_i – E(X))^2 \] L’écart-type \( \sigma(X) \) est la racine carrée de la variance : \[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \] Exemple : Soit \( X \) une variable aléatoire prenant les valeurs 0, 1, et 2, avec des probabilités respectives 0.2, 0.5 et 0.3. L’espérance est donnée par : \[ E(X) = 0 \times 0.2 + 1 \times 0.5 + 2 \times 0.3 = 1.1 \] La variance est donnée par : \[ V(X) = 0.2 \times (0 – 1.1)^2 + 0.5 \times (1 – 1.1)^2 + 0.3 \times (2 – 1.1)^2 = 0.49 \] L’écart-type est donc : \[ \sigma(X) = \sqrt{0.49} = 0.7 \]