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Les suites sont des successions ordonnées de nombres, définies soit par une formule explicite, soit par une relation de récurrence. Elles constituent un outil central pour modéliser des phénomènes dans de nombreux domaines. Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur les opérations de base sur les suites, telles que la somme, le produit, la combinaison avec des scalaires, ainsi que quelques résultats importants pour les suites arithmétiques et géométriques.
1. Définitions de base
- Suite : Une suite est une fonction qui associe à tout entier naturel \( n \) un réel \( u_n \). On note la suite sous la forme \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \).
- Suite explicite : Si une suite est donnée par une formule qui définit directement \( u_n \) en fonction de \( n \), on parle de suite explicite. Exemple : \( u_n = 2n + 3 \).
- Suite récurrente : Si une suite est définie par une relation qui exprime chaque terme à partir du précédent, on parle de suite récurrente. Exemple : \( u_{n+1} = u_n + 5 \) avec \( u_0 = 2 \).
2. Opérations sur les suites
a. Somme de deux suites
Si \( (u_n) \) et \( (v_n) \) sont deux suites, la somme de ces suites est une nouvelle suite définie par : \[ (u_n + v_n) = (w_n) \quad \text{avec} \quad w_n = u_n + v_n \quad \forall n \in \mathbb{N}. \] Exemple : Si \( u_n = 2n \) et \( v_n = n^2 \), alors \( w_n = u_n + v_n = 2n + n^2 \).b. Produit de deux suites
De la même manière, si \( (u_n) \) et \( (v_n) \) sont deux suites, le produit de ces suites est une nouvelle suite définie par : \[ (u_n \cdot v_n) = (w_n) \quad \text{avec} \quad w_n = u_n \cdot v_n \quad \forall n \in \mathbb{N}. \] Exemple : Si \( u_n = 3n \) et \( v_n = n+1 \), alors \( w_n = u_n \cdot v_n = 3n \cdot (n+1) = 3n^2 + 3n \).c. Multiplication d’une suite par un scalaire
Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \). Le produit d’une suite \( (u_n) \) par un scalaire \( \lambda \) est une nouvelle suite définie par : \[ (\lambda \cdot u_n) = (\lambda u_n) \quad \text{avec} \quad (\lambda u_n) = \lambda \cdot u_n \quad \forall n \in \mathbb{N}. \] Exemple : Si \( u_n = 2n \) et \( \lambda = 3 \), alors \( w_n = 3 \cdot u_n = 3 \cdot 2n = 6n \).d. Différence de deux suites
La différence de deux suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) est définie par : \[ (u_n – v_n) = (w_n) \quad \text{avec} \quad w_n = u_n – v_n \quad \forall n \in \mathbb{N}. \] Exemple : Si \( u_n = 4n \) et \( v_n = n^2 \), alors \( w_n = u_n – v_n = 4n – n^2 \).3. Suites particulières : arithmétiques et géométriques
a. Suite arithmétique
Une suite \( (u_n) \) est dite arithmétique s’il existe un nombre réel \( r \), appelé raison, tel que : \[ u_{n+1} = u_n + r. \] La formule explicite d’une suite arithmétique est donnée par : \[ u_n = u_0 + n \cdot r. \] Exemple : Si \( u_0 = 5 \) et \( r = 2 \), alors \( u_n = 5 + 2n \).b. Suite géométrique
Une suite \( (v_n) \) est dite géométrique s’il existe un nombre réel \( q \), appelé raison, tel que : \[ v_{n+1} = v_n \cdot q. \] La formule explicite d’une suite géométrique est donnée par : \[ v_n = v_0 \cdot q^n. \] Exemple : Si \( v_0 = 3 \) et \( q = 2 \), alors \( v_n = 3 \cdot 2^n \).4. Théorèmes et propriétés
a. Théorème de convergence pour les suites géométriques
- Si \( |q| < 1 \), alors la suite géométrique \( (v_n) \) converge vers 0.
- Si \( |q| = 1 \), la suite est constante.
- Si \( |q| > 1 \), la suite diverge (tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \)).