Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est une méthode classique en mathématiques, utilisée pour démontrer des propriétés relatives aux suites. Dans ce contexte, le raisonnement par récurrence (parfois appelé raisonnement par concurrence) s’avère particulièrement efficace pour prouver qu’une propriété est vraie pour tous les termes d’une suite définie sur les entiers naturels. Cette méthode repose sur deux étapes principales : l’initialisation et l’hérédité.

1. Le Principe du Raisonnement par Récurrence

Soit une propriété $P(n)$ définie sur $\mathbb{N}$, c’est-à-dire sur les entiers naturels $n$. Le raisonnement par récurrence consiste à prouver que $P(n)$ est vraie pour tous les $n \in \mathbb{N}$ à partir des étapes suivantes :

1. Initialisation : Montrer que $P(0)$ ou $P(1)$ (selon le cas) est vraie, c’est-à-dire que la propriété est vérifiée pour le premier terme de la suite.
2. Hérédité : Supposons que la propriété est vraie à un rang $n$, c’est-à-dire que $P(n)$ est vraie. Il faut alors prouver que cette propriété est aussi vraie pour le rang suivant $n+1$, soit $P(n+1)$.

Si ces deux étapes sont validées, alors par le principe de récurrence, on peut conclure que $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

2. Exemple de Raisonnement par Récurrence sur une Suite Arithmétique

Prenons l’exemple d’une suite arithmétique $(u_n)$, définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 3$. Nous allons utiliser le raisonnement par récurrence pour prouver que pour tout $n \in \mathbb{N}$, la formule explicite de $u_n$ est donnée par : $$u_n = 5 + 3n$$

Étape 1 : Initialisation

Pour $n = 0$, calculons $u_0$ à partir de la formule $u_n = 5 + 3n$. On obtient : $$u_0 = 5 + 3 \cdot 0 = 5$$ Cela correspond bien à la définition initiale de la suite. Ainsi, $P(0)$ est vraie.

Étape 2 : Hérédité

Supposons maintenant que la propriété est vraie pour un certain rang $n$, c’est-à-dire que : $$u_n = 5 + 3n$$ Nous devons montrer qu’elle est aussi vraie pour le rang $n+1$, c’est-à-dire que : $$u_{n+1} = 5 + 3(n+1)$$ Or, par définition de la suite, on a : $$u_{n+1} = u_n + 3$$ En utilisant l’hypothèse de récurrence $u_n = 5 + 3n$, on obtient : $$u_{n+1} = (5 + 3n) + 3 = 5 + 3(n + 1)$$ Cela prouve bien que la propriété est vraie pour $n+1$.

Conclusion

Par le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$, et la formule explicite de la suite est bien $u_n = 5 + 3n$.

3. Exemple de Raisonnement par Récurrence sur une Suite Géométrique

Prenons une suite géométrique $(v_n)$ définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = v_n \cdot 3$. Nous allons prouver par récurrence que la formule explicite de la suite est : $$v_n = 2 \cdot 3^n$$

Étape 1 : Initialisation

Pour $n = 0$, la formule donne : $$v_0 = 2 \cdot 3^0 = 2$$ Cela correspond bien à la définition initiale de la suite. Ainsi, $P(0)$ est vraie.

Étape 2 : Hérédité

Supposons que la propriété est vraie pour un certain rang $n$, c’est-à-dire que : $$v_n = 2 \cdot 3^n$$ Nous devons prouver qu’elle est vraie pour $n+1$, c’est-à-dire que : $$v_{n+1} = 2 \cdot 3^{n+1}$$ Or, par définition de la suite, on a : $$v_{n+1} = v_n \cdot 3$$ En utilisant l’hypothèse de récurrence $v_n = 2 \cdot 3^n$, on obtient : $$v_{n+1} = (2 \cdot 3^n) \cdot 3 = 2 \cdot 3^{n+1}$$ Cela prouve bien que la propriété est vraie pour $n+1$.

Conclusion

Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$, et la formule explicite de la suite est $v_n = 2 \cdot 3^n$.

4. Applications du Raisonnement par Récurrence

Le raisonnement par récurrence est très utilisé en mathématiques pour démontrer des résultats sur les suites, mais il est également applicable dans d’autres domaines des mathématiques tels que les séries, les algorithmes, et plus généralement dans toute situation où un raisonnement par étapes successives est possible.

5. Conclusion

Le raisonnement par récurrence est un outil puissant pour démontrer des propriétés concernant les suites. Il repose sur une démonstration en deux étapes : l’initialisation, qui vérifie la propriété pour un premier cas particulier, et l’hérédité, qui assure que si la propriété est vraie à un certain rang, elle le sera pour le rang suivant. Grâce à cette méthode, il est possible de prouver de manière rigoureuse que certaines formules explicites sont valides pour tous les termes d’une suite.