Les primitives et les opérations

a. Linéarité de l’Intégration

L’intégration est une opération linéaire. Cela signifie que, pour deux fonctions \( f \) et \( g \) et pour tout réel \( \alpha \), on a :

• • Somme :

\[ \int \left( f(x) + g(x) \right) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]

• • Multiplication par un scalaire :

\[ \int \alpha f(x) \, dx = \alpha \int f(x) \, dx \]

b. Intégration par Parties

L’intégration par parties est une méthode qui permet de simplifier le calcul de certaines primitives. Elle s’énonce ainsi : \[ \int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) – \int u'(x) v(x) \, dx \] où \( u(x) \) et \( v(x) \) sont des fonctions de \( x \).

Exemple d’application :

Soit \( \int x e^x \, dx \). Posons \( u(x) = x \) et \( v'(x) = e^x \). Alors : \[ \int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C \]