Techniques de Calcul des Limites

a. Factorisation

Factoriser l’expression permet souvent de simplifier le calcul. Par exemple, pour calculer : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 – 5x + 4} \] On peut factoriser par \( x^2 \) au numérateur et au dénominateur : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 – \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2})} = \frac{2}{1} = 2 \]

b. Changements de Variables

Le changement de variable peut simplifier certains calculs de limites. Par exemple, pour : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} \] On peut poser \( t = \frac{1}{x} \), ce qui donne : \[ \lim_{t \to 0^+} t^2 = 0 \]

c. Utilisation des Formes Indéterminées

Certaines expressions mènent à des formes indéterminées du type :

• \( \frac{0}{0} \)
• \( \frac{\infty}{\infty} \)
• \( \infty – \infty \)
• \( 0 \cdot \infty \)

Dans ces cas, il est nécessaire de manipuler l’expression pour lever l’indétermination. Par exemple : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]

d. L’Hôpital

La règle de L’Hôpital permet de traiter certaines formes indéterminées. Si : \[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \quad \text{ou} \quad \pm\infty \] alors : \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \quad \text{(si la limite existe)} \]