Applications

Exercice 1 : Calculez la limite suivante : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1}$$ Exercice 2 : Vérifiez si la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ admet une asymptote et déterminez son équation. Exercice 3 : Calculez : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2}$$

Correction des Exercices

Exercice 1 Calculez la limite suivante : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1}$$ Correction : Pour résoudre cette limite, nous allons factoriser l’expression par $x^2$ au numérateur et au dénominateur. $$\frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1} = \frac{x^2(3 + \frac{5}{x} – \frac{2}{x^2})}{x^2(2 – \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$$ Lorsque $x \to +\infty$, les termes $\frac{5}{x}$, $\frac{2}{x^2}$, $\frac{1}{x}$, et $\frac{1}{x^2}$ tendent vers 0. Ainsi, on obtient : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1} = \frac{3}{2}$$ La réponse est donc : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1} = \frac{3}{2}$$   Exercice 2 Vérifiez si la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ admet une asymptote et déterminez son équation.

Correction :

La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ tend vers 0 lorsque $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$. Calculons :

• $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$
• $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$$

La fonction possède donc une asymptote horizontale d’équation $y = 0$. De plus, lorsque $x \to 0^+$, $f(x) \to +\infty$, et lorsque $x \to 0^-$, $f(x) \to -\infty$, donc la fonction possède une asymptote verticale en $x = 0$. Les asymptotes sont donc :

• Asymptote horizontale : $y = 0$
• Asymptote verticale : $x = 0$

  Exercice 3 Calculez : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2}$$

Correction :

Lorsque $x \to 0^+$, $\frac{1}{x^2}$ devient de plus en plus grand car $x^2$ tend vers 0, mais reste positif. Donc : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$$ La réponse est donc : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$$