Les Équations et Inéquations Trigonométriques

Les équations et inéquations trigonométriques jouent un rôle central dans de nombreux problèmes en mathématiques, en particulier dans le cadre de l’analyse et de la géométrie. Ce cours traite des méthodes de résolution des équations et inéquations trigonométriques classiques impliquant les fonctions sinus, cosinus et tangente.

1. Équations Trigonométriques

a. Équation de Base : \( \sin(x) = a \)

L’équation de base \( \sin(x) = a \) admet des solutions lorsque \( a \in [-1, 1] \). La résolution de cette équation repose sur l’utilisation des propriétés de la fonction sinus et des identités trigonométriques. – Si \( a \in [-1, 1] \), les solutions sont données par : \[ x = \arcsin(a) + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi – \arcsin(a) + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \] – Si \( a \notin [-1, 1] \), l’équation n’a pas de solution, car le sinus ne peut pas prendre de valeur au-delà de cet intervalle.

Exemple :

Résolvons \( \sin(x) = \frac{1}{2} \). \[ x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi – \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]

b. Équation de Base : \( \cos(x) = a \)

L’équation \( \cos(x) = a \) admet des solutions pour \( a \in [-1, 1] \). Les solutions sont données par : \[ x = \arccos(a) + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\arccos(a) + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Exemple :

Résolvons \( \cos(x) = \frac{1}{2} \). \[ x = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \]

c. Équation de Base : \( \tan(x) = a \)

La fonction tangente étant périodique de période \( \pi \), les solutions de l’équation \( \tan(x) = a \) sont : \[ x = \arctan(a) + k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Exemple :

Résolvons \( \tan(x) = 1 \). \[ x = \arctan(1) + k\pi = \frac{\pi}{4} + k\pi \]

d. Cas Particuliers

1. Résolution de \( \sin(x) = 0 \)

\[ \sin(x) = 0 \quad \text{implique} \quad x = k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Résolution de \( \cos(x) = 0 \)

\[ \cos(x) = 0 \quad \text{implique} \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]

3. Résolution de \( \tan(x) = 0 \)

\[ \tan(x) = 0 \quad \text{implique} \quad x = k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Inéquations Trigonométriques

a. Inéquation : \( \sin(x) > a \)

Pour résoudre une inéquation du type \( \sin(x) > a \), il est nécessaire de déterminer les intervalles où la fonction sinus est strictement supérieure à \( a \). – Si \( a \in [-1, 1] \), on a : \[ x \in ]\arcsin(a) + 2k\pi, \pi – \arcsin(a) + 2k\pi[ \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Exemple :

Résolvons \( \sin(x) > \frac{1}{2} \). On sait que \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) pour \( x = \frac{\pi}{6} \) et \( x = \frac{5\pi}{6} \). Les solutions de l’inéquation sont donc : \[ x \in ]\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi[ \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]

b. Inéquation : \( \cos(x) < a \)

Pour résoudre une inéquation du type \( \cos(x) < a \), on détermine les intervalles où la fonction cosinus est inférieure à \( a \). – Si \( a \in [-1, 1] \), les solutions sont : \[ x \in ]\arccos(a) + 2k\pi, -\arccos(a) + 2k\pi[ \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Exemple :

Résolvons \( \cos(x) < \frac{1}{2} \). On sait que \( \cos(x) = \frac{1}{2} \) pour \( x = \frac {\pi}{3} \) et \( x = \frac{5\pi}{3} \). Les solutions de l’inéquation sont donc : \[ x \in ]\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi[ \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]

c. Inéquation : \( \tan(x) \geq a \)

Pour \( \tan(x) \geq a \), les solutions sont de la forme : \[ x \in [\arctan(a) + k\pi, \arctan(a) + (k+1)\pi[ \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \]