Applications

Exercice 1

Résoudre l’équation suivante : \[ \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Correction :

Nous savons que \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) correspond à un angle principal de \( \frac{\pi}{3} \). Ainsi, les solutions de l’équation sont : \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi – \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \] Donc, les solutions sont : \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{et} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \] —

Exercice 2

Résoudre l’équation suivante : \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \]

Correction :

Nous savons que \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \) correspond à un angle principal de \( \frac{2\pi}{3} \), car \( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \). Les solutions sont donc : \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \] Donc, les solutions sont : \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{et} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \] —

Exercice 3

Résoudre l’inéquation suivante : \[ \sin(x) \geq 0 \]

Correction :

Nous savons que la fonction sinus est positive ou nulle sur l’intervalle \( [0, \pi] \) dans chaque période de \( 2\pi \). Ainsi, les solutions sont : \[ x \in [2k\pi, \pi + 2k\pi] \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z} \] Cette solution inclut tous les intervalles où \( \sin(x) \geq 0 \) dans chaque période.