Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre s’écrit sous la forme : \[ y’ + p(x) y = q(x) \] La méthode de résolution consiste à utiliser un facteur intégrant \( \mu(x) \), qui est défini par : \[ \mu(x) = e^{\int p(x) \, dx} \] On multiplie ensuite l’équation initiale par \( \mu(x) \), ce qui permet d’écrire le côté gauche sous la forme d’une dérivée de produit : \[ \frac{d}{dx} \left( \mu(x) y \right) = \mu(x) q(x) \] En intégrant des deux côtés, on peut résoudre pour \( y \). Exemple : Résolvons l’équation différentielle : \[ y’ + 2y = e^x \] Le facteur intégrant est : \[ \mu(x) = e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \] En multipliant l’équation par \( e^{2x} \), on obtient : \[ e^{2x} y’ + 2e^{2x} y = e^{3x} \] Le côté gauche devient une dérivée : \[ \frac{d}{dx} \left( e^{2x} y \right) = e^{3x} \] En intégrant les deux côtés : \[ e^{2x} y = \int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C \] On trouve alors la solution générale : \[ y = \frac{e^x}{3} + Ce^{-2x} \]