Résolution des équations différentielles du premier ordre

Une équation différentielle du premier ordre s’écrit sous la forme : \[ y’ = f(x, y) \] 1. Équations différentielles séparables : Une équation différentielle est dite séparable si elle peut s’écrire sous la forme : \[ \frac{dy}{dx} = g(x) h(y) \] Cette forme permet de séparer les variables \( x \) et \( y \) de la manière suivante : \[ \frac{dy}{h(y)} = g(x) \, dx \] On peut alors intégrer les deux côtés pour résoudre l’équation : \[ \int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx \] Exemple : Résolvons l’équation différentielle : \[ \frac{dy}{dx} = y \] On peut la réécrire sous la forme séparée : \[ \frac{dy}{y} = dx \] En intégrant des deux côtés : \[ \int \frac{1}{y} \, dy = \int 1 \, dx \] On obtient : \[ \ln|y| = x + C \] En exponentiant des deux côtés, on trouve la solution générale : \[ y = Ce^x \]