Les propriétés algébriques

a. Linéarité de l’Intégrale

L’intégration est une opération linéaire, ce qui signifie que l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme de leurs intégrales. De même, une constante peut être sortie de l’intégrale.

• • Somme et Différence :

\[ \int_{a}^{b} \left( f(x) + g(x) \right) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx \] \[ \int_{a}^{b} \left( f(x) – g(x) \right) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx – \int_{a}^{b} g(x) \, dx \]

• • Multiplication par un Scalaire :

\[ \int_{a}^{b} \alpha f(x) \, dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

b. Intégrale d’une Fonction Constante

Si \( f(x) = c \), où \( c \) est une constante, alors : \[ \int_{a}^{b} c \, dx = c(b – a) \]

c. Additivité de l’Intervalle

Si \( c \) est un point quelconque entre \( a \) et \( b \), alors l’intégrale sur l’intervalle \([a, b]\) peut être divisée en deux intégrales sur \([a, c]\) et \([c, b]\) : \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \]

d. Propriété d’Ordre

Si \( f(x) \geq g(x) \) pour tout \( x \in [a, b] \), alors : \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq \int_{a}^{b} g(x) \, dx \]

e. Symétrie des Fonctions Paires et Impaires

• • Fonctions Paires : Si \( f(-x) = f(x) \) (fonction paire) sur \([-a, a]\), alors :

\[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \]

• • Fonctions Impaires : Si \( f(-x) = -f(x) \) (fonction impaire) sur \([-a, a]\), alors :

\[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \]