Techniques de Calcul des Intégrales

a. Intégration par Parties

L’intégration par parties est une technique qui permet de simplifier certaines intégrales. Elle s’énonce de la manière suivante : $$\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) – \int u'(x) v(x) \, dx$$ où $u(x)$ et $v'(x)$ sont des fonctions de $x$.

Exemple :

Calculons $\int x e^x \, dx$. Posons $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$. Alors : $$\int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C$$

b. Changement de Variable

Le changement de variable est une technique permettant de simplifier une intégrale en modifiant la variable d’intégration. Si on pose $u = g(x)$, alors : $$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$

Exemple :

Calculons $\int 2x e^{x^2} \, dx$. Posons $u = x^2$, donc $du = 2x \, dx$. Ainsi, l’intégrale devient : $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$$