Définition et interprétation de la loi des grands nombres

La loi des grands nombres est un théorème fondamental en probabilités qui décrit le comportement des moyennes d’échantillons lorsque la taille de l’échantillon devient très grande. Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées \( X_1, X_2, \dots, X_n \), toutes de même espérance \( \mu = E(X_i) \). La loi faible des grands nombres affirme que, pour un grand nombre d’observations, la moyenne empirique tend vers la moyenne théorique \( \mu \) : \[ \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} \xrightarrow{n \to \infty} \mu \] C’est-à-dire que plus on répète une expérience, plus la moyenne des résultats observés se rapproche de la vraie valeur moyenne \( \mu \). Interprétation : Si l’on lance une pièce équilibrée un grand nombre de fois, la proportion de faces observées se rapprochera de la probabilité théorique de 0.5 à mesure que le nombre de lancers augmente.