Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale

Pour une variable aléatoire $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, l’espérance $E(X)$, la variance $V(X)$, et l’écart-type $\sigma(X)$ sont définis comme suit :

• • Espérance : L’espérance $E(X)$ représente le nombre moyen de succès obtenus sur $n$ essais. Elle est donnée par la formule :

$$E(X) = n \times p$$

• • Variance : La variance $V(X)$ mesure la dispersion des résultats autour de la moyenne, et est donnée par :

$$V(X) = n \times p \times (1 – p)$$

• • Écart-type : L’écart-type $\sigma(X)$, qui est la racine carrée de la variance, permet de mesurer l’écart moyen par rapport à l’espérance :

$$\sigma(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)}$$ Exemple : Si une variable aléatoire $X \sim \mathcal{B}(12, 0.7)$ modélise le nombre de succès dans 12 essais avec une probabilité de succès $p = 0.7$, alors :

• L’espérance est $E(X) = 12 \times 0.7 = 8.4$.
• La variance est $V(X) = 12 \times 0.7 \times 0.3 = 2.52$.
• L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{2.52} \approx 1.59$.