Définition de la loi binomiale

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une série de \( n \) expériences identiques et indépendantes, où chaque expérience a deux issues possibles : succès (avec une probabilité \( p \)) ou échec (avec une probabilité \( 1 – p \)).Si l’on note \( X \) le nombre de succès obtenus, on dit que \( X \) suit une loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \), notée :\[ X \sim \mathcal{B}(n, p) \]La probabilité d’obtenir exactement \( k \) succès, où \( k \) est un entier compris entre \( 0 \) et \( n \), est donnée par la formule suivante :\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]où \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) est le coefficient binomial, qui représente le nombre de façons de choisir \( k \) succès parmi \( n \) essais.Exemples d’application de la loi binomialeExemple 1 : Considérons une expérience où l’on lance une pièce équilibrée (c’est-à-dire que \( p = 0.5 \)) 10 fois. On peut modéliser le nombre de faces obtenues avec une variable aléatoire \( X \sim \mathcal{B}(10, 0.5) \). La probabilité d’obtenir exactement 4 faces est donnée par :\[ P(X = 4) = \binom{10}{4} (0.5)^4 (0.5)^6 = 210 \times (0.5)^{10} = 0.205 \]Exemple 2 : Une urne contient 5 boules rouges et 5 boules bleues. On tire, avec remise, 8 boules au hasard. Si l’on considère que le succès correspond au fait de tirer une boule rouge, la probabilité de succès à chaque tirage est \( p = \frac{5}{10} = 0.5 \). La probabilité d’obtenir exactement 6 boules rouges dans les 8 tirages est :\[ P(X = 6) = \binom{8}{6} (0.5)^6 (0.5)^2 = 28 \times 0.015625 \times 0.25 = 0.1094 \]