Définition et propriétés du logarithme népérien

Le logarithme népérien, noté \( \ln(x) \), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle \( e^x \). Cela signifie que : \[ \ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln(x)} = x \quad \text{pour tout } x > 0 \] La fonction logarithme est définie uniquement pour les nombres strictement positifs \( x > 0 \), et elle satisfait aux propriétés suivantes :

• \( \ln(1) = 0 \), car \( e^0 = 1 \).
• \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) pour \( a, b > 0 \) (propriété de produit).
• \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \) pour \( a, b > 0 \) (propriété de quotient).
• \( \ln(a^n) = n \ln(a) \) pour \( a > 0 \) et \( n \in \mathbb{R} \) (propriété de puissance).

Exemple : Calculons \( \ln(8) \) en utilisant la décomposition en facteurs premiers : \[ \ln(8) = \ln(2^3) = 3 \ln(2) \]