Types de discontinuités

Si une fonction n’est pas continue en un point, on dit qu’elle présente une discontinuité. Il existe plusieurs types de discontinuités :

• • Discontinuité de saut : Si les limites à gauche et à droite d’un point \( a \) existent, mais ne sont pas égales, la fonction présente un saut. Cela signifie que la fonction « saute » d’une valeur à une autre lorsqu’elle passe par \( a \).

Exemple : La fonction suivante présente une discontinuité de saut en \( x = 1 \) :\[ f(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } x < 1 \\ 3 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \]

• • Discontinuité infinie : Si la fonction tend vers \( \infty \) ou \( -\infty \) en un point \( a \), on dit qu’elle présente une discontinuité infinie en ce point.

Exemple : La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) présente une discontinuité infinie en \( x = 0 \), car :\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty \]

• • Discontinuité amovible : Si la fonction présente une discontinuité en un point \( a \), mais que la limite existe et est finie, on parle de discontinuité amovible. Cela signifie que la discontinuité peut être « corrigée » en redéfinissant la fonction en ce point.

Exemple : La fonction suivante présente une discontinuité amovible en \( x = 2 \) :\[ f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2} \quad \text{pour} \quad x \neq 2 \]Bien que la fonction ne soit pas définie en \( x = 2 \), la limite existe :\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = 4 \]On peut donc « combler » la discontinuité en définissant \( f(2) = 4 \).