Continuité des fonctions usuelles

De nombreuses fonctions couramment utilisées en mathématiques sont continues sur leurs domaines de définition :

• Fonctions polynomiales : Les polynômes sont continus sur tout \( \mathbb{R} \). Par exemple, la fonction \( f(x) = x^3 – 2x + 5 \) est continue sur \( \mathbb{R} \).
• Fonctions rationnelles : Les fonctions rationnelles, c’est-à-dire les quotients de polynômes, sont continues sur leur domaine de définition. Elles peuvent présenter des discontinuités aux points où le dénominateur s’annule.
• Fonctions exponentielles et logarithmes : La fonction exponentielle \( e^x \) est continue sur \( \mathbb{R} \), tandis que la fonction logarithme naturel \( \ln(x) \) est continue sur \( ]0, \infty[ \).
• Fonctions trigonométriques : Les fonctions trigonométriques, telles que \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \), sont continues sur \( \mathbb{R} \), tandis que \( \tan(x) \) est continue sur \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} \).

Exemple : La fonction rationnelle \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x – 1} \) est continue sur \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \), car elle présente une discontinuité en \( x = 1 \), où le dénominateur s’annule.