Définition de la continuité

Une fonction \( f(x) \) est dite continue en un point \( a \) si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

• • La fonction est définie en \( a \), c’est-à-dire que \( f(a) \) existe.
  • La limite de la fonction lorsque \( x \) tend vers \( a \) existe :

\[ \lim_{x \to a} f(x) \quad \text{existe} \]

• • La limite de la fonction en \( a \) est égale à la valeur de la fonction en \( a \) :

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \] En d’autres termes, la fonction ne présente pas de “sauts” au point \( a \), et sa valeur limite à gauche et à droite du point \( a \) est égale à la valeur de la fonction en ce point. Exemple : La fonction \( f(x) = x^2 \) est continue en tout point de \( \mathbb{R} \). Si nous choisissons \( a = 2 \), vérifions la continuité :

• • La fonction est définie en \( x = 2 \), donc \( f(2) = 4 \).
  • La limite de \( f(x) = x^2 \) lorsque \( x \to 2 \) est également égale à 4 :

\[ \lim_{x \to 2} x^2 = 4 \]

• Enfin, \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \), donc la fonction est bien continue en \( x = 2 \).