Permutations

Permutations

Définition et calcul des permutations

Une permutation est un arrangement ou un réarrangement d’un ensemble d’éléments où l’ordre est crucial. C’est-à-dire que l’ordre dans lequel les éléments apparaissent fait une différence. Par exemple, les arrangements de A, B, et C en ABC et en BCA sont considérés comme deux permutations différentes.

Le nombre de permutations possibles d’un ensemble de $n$ éléments est donné par la factorielle de $n$, notée $n!$. La factorielle d’un nombre $n$ (notée $n!$) est le produit de tous les entiers positifs jusqu’à $n$.

Par exemple, pour un ensemble de trois éléments $\{A,B,C\}$, les permutations possibles sont les suivantes :

• ABC
• ACB
• BAC
• BCA
• CAB
• CBA

Le nombre total de permutations de cet ensemble de 3 éléments est donc : $3!=3\times 2\times 1=6$

Exemples pratiques

Prenons un ensemble plus concret de nombres pour illustrer la définition et le calcul des permutations.

Exemple de permutation : Ensemble : $\{1,2,3\}$

Les permutations de cet ensemble sont :

• 123
• 132
• 213
• 231
• 312
• 321

Le nombre total de permutations pour cet ensemble est également : $3!=3\times 2\times 1=6$

Chaque permutation est un arrangement unique des éléments de l’ensemble où l’ordre compte. Si l’on change l’ordre des éléments, on obtient une permutation différente.

Application pratique

Pour illustrer davantage, considérons un ensemble de 4 éléments $\{A,B,C,D\}$. Le nombre de permutations possibles de cet ensemble est : $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

Les permutations de l’ensemble $\{A,B,C,D\}$ incluent :

• ABCD
• ABDC
• ACBD
• ACDB
• ADBC
• ADCB
• BACD
• BADC
• BCAD
• BCDA
• BDAC
• BDCA
• (et 12 autres permutations)

En conclusion, comprendre et calculer les permutations est essentiel pour résoudre divers problèmes de combinatoire et de probabilité, où l’ordre des éléments est important. C’est une compétence clé dans les mathématiques du baccalauréat, souvent utilisée dans les contextes de réarrangement, d’organisation, et d’optimisation.