Combinaisons

Définition et calcul des combinaisons

Une combinaison est une sélection d’éléments d’un ensemble où l’ordre des éléments n’a pas d’importance. Contrairement aux permutations, ici, les arrangements ABC et BCA sont considérés comme identiques puisqu’ils contiennent les mêmes éléments. Le nombre de combinaisons de n éléments pris k à la fois est donné par le coefficient binomial C(n$,k).$La formule pour calculer C(n,k) est la suivante :$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"></span>}$

Exemple de calcul de combinaisons

Prenons l’ensemble {A,B,C} et trouvons les combinaisons de ces éléments prises deux à la fois. Les combinaisons possibles sont :

• AB
• AC
• BC

Le nombre total de combinaisons de 3 éléments pris 2 à la fois est donné par :$C(3,2)=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{3\times 2\times 1}{2\times 1\times 1}=3$Cela signifie qu’il y a trois façons de choisir 2 éléments parmi 3 sans tenir compte de l’ordre.

Exemples pratiques

Exemple de combinaison : Prenons un ensemble de 4 éléments {A,B,C,D} et trouvons les combinaisons de ces éléments prises deux à la fois. Les combinaisons possibles sont :

• AB
• AC
• AD
• BC
• BD
• CD

Le nombre total de combinaisons de 4 éléments pris 2 à la fois est donné par :$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1\times 2\times 1}=6$ Cela signifie qu’il y a six façons de choisir 2 éléments parmi 4 sans tenir compte de l’ordre.

Autres exemples de combinaisons

Prenons un ensemble de 5 éléments {A,B,C,D,E} et trouvons les combinaisons de ces éléments prises trois à la fois. Les combinaisons possibles sont :

• ABC
• ABD
• ABE
• ACD
• ACE
• ADE
• BCD
• BCE
• BDE
• CDE

Le nombre total de combinaisons de 5 éléments pris 3 à la fois est donné par :$C(5,3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{3\times 2\times 1\times 2\times 1}=10.$ Cela signifie qu’il y a dix façons de choisir 3 éléments parmi 5 sans tenir compte de l’ordre. En conclusion, comprendre et calculer les combinaisons est essentiel pour résoudre des problèmes de combinatoire où l’ordre des éléments n’est pas important, comme dans le choix de sous-ensembles, les tirages au sort, et les calculs de probabilités. C’est une compétence clé pour les mathématiques du baccalauréat, souvent utilisée dans des contextes variés tels que les statistiques, la recherche opérationnelle, et l’analyse des données.