Énoncé : Démontrer la relation suivante : \( \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} = n 2^{n-1} \).
Solution :
- Énoncé de la relation : La somme pondérée des coefficients binomiaux est égale à \( n 2^{n-1} \).
- Explication combinatoire :
- Considérons un ensemble de \( n \) éléments.
- Le nombre total de façons de choisir \( k \) éléments parmi \( n \) est \( \binom{n}{k} \).
- Pondération par \( k \) :
- Chaque choix de \( k \) éléments peut être pondéré par \( k \), représentant le nombre de façons de choisir un élément particulier parmi les \( k \) éléments sélectionnés.
- Utilisation de la linéarité de la somme : \[ \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} = n \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} \] En utilisant la propriété \( \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \), nous pouvons simplifier : \[ \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} = n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} \]
- Résultat final : \[ \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} = n \cdot 2^{n-1} \]
- Conclusion : La relation est démontrée en utilisant les propriétés des coefficients binomiaux et la formule de la somme.