I. Le condensateur
1.
Définition : Un condensateur est constitué de deux conducteurs (ou armatures) séparés par un isolant appelé diélectrique. La capacité du condensateur, notée \( C \), représente la quantité de charge \( q \) qu’il peut stocker par unité de tension \( u \), selon la relation :
\( q = C \cdot u \)
où \( C \) est en Farads (F). Dans la pratique, on utilise souvent des sous-multiples comme le microfarad (\( \mu F = 10^{-6} \, F \)) ou le picofarad (\( pF = 10^{-12} \, F \)).
II. Association de condensateurs
1.
En série : Pour deux condensateurs en série, la capacité équivalente \( C \) est donnée par :
\( \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \)
2.
En parallèle : Pour deux condensateurs en parallèle, la capacité équivalente \( C \) est :
\( C = C_1 + C_2 \)
III. Charge et décharge d’un condensateur dans un circuit (R, C)
1.
Charge : Lorsqu’un condensateur est connecté à un générateur par l’intermédiaire d’une résistance \( R \), il se charge progressivement, et la tension \( u_C(t) \) à ses bornes suit la loi :
\( u_C(t) = E \left(1 – e^{-\frac{t}{RC}}\right) \)
où \( E \) est la tension du générateur et \( \tau = RC \) est la constante de temps du circuit, indiquant le temps nécessaire pour que la tension atteigne environ 63 % de sa valeur finale \( E \).
2.
Décharge : En absence de générateur, le condensateur se décharge à travers la résistance \( R \), avec une tension aux bornes du condensateur donnée par :
\( u_C(t) = u_{C \text{max}} e^{-\frac{t}{RC}} \)
La constante de temps \( \tau \) représente également le temps requis pour que la tension initiale chute à environ 37 % de sa valeur maximale.
IV. Énergie stockée dans un condensateur
Lors de la charge, un condensateur emmagasine une énergie électrique \( E_{\text{élec}} \) exprimée par :
\( E_{\text{élec}} = \frac{1}{2} C u^2 \)
Cette énergie est restituée lors de la décharge à travers la résistance.
Exercice d’application
- Un condensateur de \( C = 100 \, \mu F \) est chargé sous une tension \( E = 12 \, V \). Il est ensuite connecté en série avec une résistance \( R = 200 \, \Omega \). Calculer :
- La constante de temps \( \tau \) du circuit.
- La tension aux bornes du condensateur \( t = 2 \, \text{s} \) après le début de la décharge.
- L’énergie initialement stockée dans le condensateur.
Correction de l’exercice
1) Constante de temps
\( \tau = RC = 200 \, \Omega \times 100 \times 10^{-6} \, F = 0.02 \, \text{s} \).
2) Tension après 2 secondes
Utilisons la formule de décharge :
\( u_C(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}} = 12 \, V \times e^{-\frac{2}{0.02}} = 12 \, V \times e^{-100} \approx 0 \, V \)
(La tension devient négligeable au bout de quelques constantes de temps).
3) Énergie stockée
\( E_{\text{élec}} = \frac{1}{2} C u^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \, F \times (12 \, V)^2 = 0.0072 \, J \)
