Approximation de la loi binomiale par la loi normale

Lorsque le nombre d’essais \( n \) est suffisamment grand et que la probabilité de succès \( p \) n’est ni trop proche de 0 ni trop proche de 1, la loi binomiale peut être approximée par une loi normale de paramètres \( \mu = n \times p \) et \( \sigma^2 = n \times p \times (1 – p) \).C’est-à-dire que :\[ X \sim \mathcal{B}(n, p) \quad \text{peut être approximée par} \quad N(\mu = np, \sigma^2 = np(1 – p)) \]Cette approximation est particulièrement utile pour des valeurs de \( n \) élevées, car elle permet de simplifier les calculs de probabilité à l’aide de la table de la loi normale.Condition d’approximation : On peut utiliser l’approximation normale lorsque \( n \geq 30 \) et que \( np \geq 5 \) et \( n(1 – p) \geq 5 \).Exemple : Si \( X \sim \mathcal{B}(100, 0.4) \), alors l’espérance est \( \mu = 100 \times 0.4 = 40 \), et la variance est \( \sigma^2 = 100 \times 0.4 \times 0.6 = 24 \). Ainsi, on peut approximer \( X \) par une loi normale \( N(40, 24) \).