Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale

Pour une variable aléatoire \( X \sim \mathcal{B}(n, p) \), l’espérance \( E(X) \), la variance \( V(X) \), et l’écart-type \( \sigma(X) \) sont définis comme suit :

• • Espérance : L’espérance \( E(X) \) représente le nombre moyen de succès obtenus sur \( n \) essais. Elle est donnée par la formule :

\[ E(X) = n \times p \]

• • Variance : La variance \( V(X) \) mesure la dispersion des résultats autour de la moyenne, et est donnée par :

\[ V(X) = n \times p \times (1 – p) \]

• • Écart-type : L’écart-type \( \sigma(X) \), qui est la racine carrée de la variance, permet de mesurer l’écart moyen par rapport à l’espérance :

\[ \sigma(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \] Exemple : Si une variable aléatoire \( X \sim \mathcal{B}(12, 0.7) \) modélise le nombre de succès dans 12 essais avec une probabilité de succès \( p = 0.7 \), alors :

• L’espérance est \( E(X) = 12 \times 0.7 = 8.4 \).
• La variance est \( V(X) = 12 \times 0.7 \times 0.3 = 2.52 \).
• L’écart-type est \( \sigma(X) = \sqrt{2.52} \approx 1.59 \).