Exercice 1
Résoudre l’équation suivante :\[
\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]Correction :
Nous savons que \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) correspond à un angle principal de \( \frac{\pi}{3} \). Ainsi, les solutions de l’équation sont :\[
x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi – \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}
\]Donc, les solutions sont :\[
x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{et} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}
\]—Exercice 2
Résoudre l’équation suivante :\[
\cos(x) = -\frac{1}{2}
\]Correction :
Nous savons que \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \) correspond à un angle principal de \( \frac{2\pi}{3} \), car \( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \). Les solutions sont donc :\[
x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}
\]Donc, les solutions sont :\[
x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{et} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}
\]—Exercice 3
Résoudre l’inéquation suivante :\[
\sin(x) \geq 0
\]Correction :
Nous savons que la fonction sinus est positive ou nulle sur l’intervalle \( [0, \pi] \) dans chaque période de \( 2\pi \). Ainsi, les solutions sont :\[
x \in [2k\pi, \pi + 2k\pi] \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}
\]Cette solution inclut tous les intervalles où \( \sin(x) \geq 0 \) dans chaque période.