Applications

Exercice 1 :Calculez la limite suivante :\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1} \]Exercice 2 :Vérifiez si la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) admet une asymptote et déterminez son équation.Exercice 3 :Calculez :\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} \]

Correction des Exercices

Exercice 1Calculez la limite suivante :\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1} \]Correction :Pour résoudre cette limite, nous allons factoriser l’expression par \( x^2 \) au numérateur et au dénominateur.\[ \frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1} = \frac{x^2(3 + \frac{5}{x} – \frac{2}{x^2})}{x^2(2 – \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} \]Lorsque \( x \to +\infty \), les termes \( \frac{5}{x} \), \( \frac{2}{x^2} \), \( \frac{1}{x} \), et \( \frac{1}{x^2} \) tendent vers 0. Ainsi, on obtient :\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1} = \frac{3}{2} \]La réponse est donc :\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x – 2}{2x^2 – x + 1} = \frac{3}{2} \] Exercice 2Vérifiez si la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) admet une asymptote et déterminez son équation.

Correction :

La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) tend vers 0 lorsque \( x \to +\infty \) et \( x \to -\infty \).Calculons :

• \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \]
• \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0 \]

La fonction possède donc une asymptote horizontale d’équation \( y = 0 \).De plus, lorsque \( x \to 0^+ \), \( f(x) \to +\infty \), et lorsque \( x \to 0^- \), \( f(x) \to -\infty \), donc la fonction possède une asymptote verticale en \( x = 0 \).Les asymptotes sont donc :

• Asymptote horizontale : \( y = 0 \)
• Asymptote verticale : \( x = 0 \)

 Exercice 3Calculez :\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} \]

Correction :

Lorsque \( x \to 0^+ \), \( \frac{1}{x^2} \) devient de plus en plus grand car \( x^2 \) tend vers 0, mais reste positif. Donc :\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty \]La réponse est donc :\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty \]