Loi faible et loi forte des grands nombres

Il existe deux versions principales de la loi des grands nombres :

• • Loi faible des grands nombres : Cette version affirme que la moyenne empirique d’un échantillon tend vers l’espérance avec une grande probabilité lorsque la taille de l’échantillon devient grande. Formellement, pour tout \( \epsilon > 0 \) :

\[ P\left( \left| \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} – \mu \right| < \epsilon \right) \to 1 \quad \text{quand} \quad n \to \infty \]

• • Loi forte des grands nombres : Cette version est plus forte que la précédente et garantit que la moyenne empirique converge presque sûrement vers l’espérance, c’est-à-dire que la probabilité que la moyenne empirique s’écarte de l’espérance finit par être nulle :

\[ P\left( \lim_{n \to \infty} \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} = \mu \right) = 1 \]Ces deux versions de la loi des grands nombres expriment l’idée que plus la taille de l’échantillon est grande, plus la moyenne des observations se rapproche de la moyenne théorique. Cependant, la loi forte assure une convergence beaucoup plus robuste.