Techniques de Calcul des Intégrales

a. Intégration par Parties

L’intégration par parties est une technique qui permet de simplifier certaines intégrales. Elle s’énonce de la manière suivante : \[ \int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) – \int u'(x) v(x) \, dx \] où \( u(x) \) et \( v'(x) \) sont des fonctions de \( x \).

Exemple :

Calculons \( \int x e^x \, dx \). Posons \( u(x) = x \) et \( v'(x) = e^x \). Alors : \[ \int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C \]

b. Changement de Variable

Le changement de variable est une technique permettant de simplifier une intégrale en modifiant la variable d’intégration. Si on pose \( u = g(x) \), alors : \[ \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \]

Exemple :

Calculons \( \int 2x e^{x^2} \, dx \). Posons \( u = x^2 \), donc \( du = 2x \, dx \). Ainsi, l’intégrale devient : \[ \int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C \]