a. Linéarité de l’Intégrale
L’intégration est une opération linéaire, ce qui signifie que l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme de leurs intégrales. De même, une constante peut être sortie de l’intégrale.
\[
\int_{a}^{b} \left( f(x) + g(x) \right) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx
\]\[
\int_{a}^{b} \left( f(x) – g(x) \right) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx – \int_{a}^{b} g(x) \, dx
\]
- Multiplication par un Scalaire :
\[
\int_{a}^{b} \alpha f(x) \, dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) \, dx
\]
b. Intégrale d’une Fonction Constante
Si \( f(x) = c \), où \( c \) est une constante, alors :\[
\int_{a}^{b} c \, dx = c(b – a)
\]
c. Additivité de l’Intervalle
Si \( c \) est un point quelconque entre \( a \) et \( b \), alors l’intégrale sur l’intervalle \([a, b]\) peut être divisée en deux intégrales sur \([a, c]\) et \([c, b]\) :\[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx
\]
d. Propriété d’Ordre
Si \( f(x) \geq g(x) \) pour tout \( x \in [a, b] \), alors :\[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq \int_{a}^{b} g(x) \, dx
\]
e. Symétrie des Fonctions Paires et Impaires
- Fonctions Paires : Si \( f(-x) = f(x) \) (fonction paire) sur \([-a, a]\), alors :
\[
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx
\]
- Fonctions Impaires : Si \( f(-x) = -f(x) \) (fonction impaire) sur \([-a, a]\), alors :
\[
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0
\]