a. Linéarité de l’Intégration
L’intégration est une opération linéaire. Cela signifie que, pour deux fonctions \( f \) et \( g \) et pour tout réel \( \alpha \), on a :
\[
\int \left( f(x) + g(x) \right) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx
\]
- Multiplication par un scalaire :
\[
\int \alpha f(x) \, dx = \alpha \int f(x) \, dx
\]
b. Intégration par Parties
L’intégration par parties est une méthode qui permet de simplifier le calcul de certaines primitives. Elle s’énonce ainsi :\[
\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) – \int u'(x) v(x) \, dx
\]où \( u(x) \) et \( v(x) \) sont des fonctions de \( x \).
Exemple d’application :
Soit \( \int x e^x \, dx \). Posons \( u(x) = x \) et \( v'(x) = e^x \). Alors :\[
\int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C
\]