Définition et propriétés du logarithme népérien
Le logarithme népérien, noté \( \ln(x) \), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle \( e^x \). Cela signifie que :\[
\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln(x)} = x \quad \text{pour tout } x > 0
\]La fonction logarithme est définie uniquement pour les nombres strictement positifs \( x > 0 \), et elle satisfait aux propriétés suivantes :
- \( \ln(1) = 0 \), car \( e^0 = 1 \).
- \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) pour \( a, b > 0 \) (propriété de produit).
- \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \) pour \( a, b > 0 \) (propriété de quotient).
- \( \ln(a^n) = n \ln(a) \) pour \( a > 0 \) et \( n \in \mathbb{R} \) (propriété de puissance).